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万有引力的功

太阳中心-遥远恒星参考系中,太空飞行器原来位于A点,距离太阳中心rA,经过一段时间t之后,位于B点,距离rB。太阳和飞行器质量分别为M和m,这段时间内太阳对飞行器的引力的功是多少?

这里只能直接给出结论。利用基于微积分的功的定义,可以推导出:
W=-GMm/rA+GMm/rB
在这个推导中,不需要知道飞行器沿着什么路线运动。

这个公式告诉我们:

  • 引力的功,决定于物体的初位置和末位置。
  • 如果末位置跟初位置重合,那么不管中间运动轨迹如何,引力的功都为零。如果末位置跟初位置距离太阳中心相等,那么无论是沿着圆周运动或是其它路线运动,引力的功为零。
  • 飞行器由A点运动到无穷远处,引力的功为 -GMm/rA
  • 飞行器由无穷远处运动到B,引力的功为 GMm/rB

下面我们设定一个简单运动路线,用一个粗糙的办法,看看能否导出前面的公式。

假定A比较远,B比较近,且AB指向太阳中心。引力的功应该等于引力乘以距离(rA-rB)。引力是逐渐增加的,由GMm/rArA增加到GMm/rBrB。需要取一个平均值,平均值怎么取,目前我们缺乏理论依据,试一试GMm/(rArB)?这样得到 GMm/rArB(rA-rB) 也就是 -GMm/rA+GMm/rB

这跟标准答案一样。当然,只是碰巧而已。深入学习物理、研究物理,还是需要学习和使用比较严谨的数学工具的。

进一步说,太阳和飞行器之间的一对引力的总功,也由上述公式给出。

再进一步说,任何两个物体之间的万有引力的总功,都由上述公式表述。无论选用什么参考系。

上面给出的公式非常有用。

1,可以利用它,运用动能定理讨论物体速度的变化,特别是对于只受万有引力作用的情形。
2,可以利用它,引入引力势能的概念。
3,可以作为理解电场力做功、电势能、电势、电势差的基础。
4,可以作为理解分子势能的基础。

万有引力的功.txt · Last modified: 2018/04/01 14:30 by minglang