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第一章 力 第二章 直线运动 第三章 牛顿定律 第四章 曲线运动 第五章 万有引力 第六章 平衡
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第六章 物体的平衡 例题1 有一密度为ρ1,半径为r的半球体放在盛有密度为ρ 2的 液体的容器底部,它与容器底部紧密接触,如图6-1所示, 若液体深度 为h,液体上方大气压强为p0 , 则半球体对容器底部的压力大小为 ____.
解:密度为ρ1的半球体,可以想象为密度为ρ2的半球体,与密 度为(ρ1-ρ2)的半球体重合于一体. 半球体和它正上方的液体组 成一个圆柱体.这个圆柱体的重力,等于密度为ρ2的圆柱体的重力, 加上密度为(ρ1-ρ2)的半球体的重力: G=πr2hρ2g+(2/3)πr3(ρ1-ρ2)g 圆柱体在竖直方向除了受到重力G以外, 还受到容器底部施加的向 上的支持力N,和大气施加的向下的压力F,其中 F=πr2p0 这三个力平衡: N=G+F 根据牛顿第三定律,半球体对容器底部的压力N', 大小等于容器底 部对半球体的支持力N: N'=N 由以上四式得,半球体对容器底部的压力等于 N'=πr2(p0+ρ2gh)+(2/3)πgr3(ρ1-ρ2) 例题2 如图6-2,在水平路面上,用绳子拉一只箱子, 箱子匀速向右 移动.箱子受到的四个力. (1)重力和支持力的合力,方向为____; (2)拉力和滑动摩擦力的合力,方向为____; (3)重力、支持力、拉力的合力,方向为____; (4)重力、支持力、滑动摩擦力的合力,方向为____. 解:(1)重力大于支持力,二力的合力竖直向下; (2)拉力和滑动摩擦力的合力, 应该跟重力和支持力的合力方 向相反:竖直向上. (3)重力、支持力、拉力三力的合力, 应该跟滑动摩擦力方向 相反:水平向右. (4)重力、支持力、滑动摩擦力三力的合力, 应该跟拉力方向 相反:向左下方,与水平方向成37°角. 例题3 如图6-3所示,两木块叠放在水平面上,甲受到力F 1的作用, 乙受到F2的作用,F1和F2大小相等,α＝β.两木块都静止不动. (A)甲对乙有向右的静摩擦力 (B)乙对水平面有向左的静摩擦力 (C)乙对水平面有向右的静摩擦力 (D)乙对水平面没有静摩擦力 解:甲处于静止状态,外力的矢量和应为零.作用于甲的F 1的水 平分量向右,所以,乙对甲一定有向左的静摩擦力.于是甲对乙一定 有向右的静摩擦力. 对甲乙组成系统,处于静止状态,外力之和应为零. 系统肯定受 到的外力有:竖直向下的重力G,地面施加的竖直向上的支持力N,F1 ,F2.其中F1、F2之和为零,G和N之和可以为零. 所以地面对乙的静 摩擦力不存在. 选项(A)(D)正确. 例题4 用细线把两个质量未知的小球悬挂起来,P 点是绳子的结 点,如图6-4所示.今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力,并对 小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力,最后达到平衡, 表示平衡状态的可能是图6-5中的哪个图?
解:小球a、b静止时, 两小球及它们之间的细线组成的系统， 外力矢量和应为零.系统受到的向左偏下30°的恒力和向右偏上30° 的恒力矢量和为零,因此其它外力矢量和应为零: 两小球的重力是 竖直向下的,所以上方的细线对a球的拉力应竖直向上 .所以小球a 上方的细线应沿竖直方向,表示平衡状态的图只可能是(A)图. 例题5 如图6-6所示,质量为M1和M2的两个物块处于静止状态,若不计 绳子质量、滑轮质量,不计摩擦,那么下列描述正确的是 (A)M1大于M2/2 (B)M1等于M2/2 (C)当M1稍许增加时,角度α将增大,然后仍能处于静止状态 (D)当M2稍许减少时,角度α将增大,然后仍能处于静止状态( ) 解:动滑轮和附近的绳子组成的系统受到三个力:向左上方的拉 力,向右上方的拉力,向下的拉力.前两个力的大小都等于M1g,第三 个力等于M2g.系统静止时,三个力的合力应为零.选项(A)(C)(D)正 确. 例题6 如图6-7a所示,曲杆AOB,右部BO的延长线跟左部OA的夹角为 θ, θ小于45°,曲杆处于静止状态,其中右部BO水平,左边悬挂的 重物的质量为m1.如图6-7b所示,把左边的重物换为质量为m2的重物后, 曲杆逆时针旋转某个角度α,α小于45°,重新达到静止状态.设曲 杆所受重力对O点的力矩可以忽略,则 (A)m2＝m1 (B)m2<m1 (C)m2>m1
解:在图6-7a中,重力m1g对O点的力矩大小等于重力mg对O 点的力 矩: m1gAOcosθ＝mgBO (1) 在图6-7b中,重力m2g对O点的力矩大小等于重力mg对O点的力矩: m2gAOcos(θ+α)＝mgBOcosα (2) (1)除以(2)得 m1/m2＝cos(θ+α)/(cosθcosα) 即 m1/m2＝[cosθcosα-sinθsinα]/(cosθcosα)<1 所以 m2>m1 选项(C)正确. 讨论:如果曲杆所受重力对O点的力矩不可以忽略,那么上面的 等式不成立,但仍可得到选项(C)这个结果. 杆秤的杆子是直的,但支点O、悬挂待称重物的绳子的悬挂点A、 悬挂称砣的绳子的悬挂点三者不在一条直线上,而是跟本题情景相 似,因此本题的考察在一定程度上适合于杆秤:秤梢翘得高,购物者 得到便宜. 例题7 如图6-8所示，两个球由一根细线相连,悬浮在液体中.球1 和球2的体积分别为V1和V2,密度分别为ρ1和ρ2,ρ1<ρ2.求绳中 张力.
解:球1受到的的重力为 G1=ρ1gV1 球2受到的重力为 G2=ρ2gV2 设液体的密度为ρ,根据阿基米德定律,球1受到的浮力为 F1=ρgV1 球2受到的浮力为 F2=ρgV2 两个球和细线组成的系统受到的重力和浮力相平衡: ρ1gV1+ρ2gV2=ρgV1+ρgV2 (1) 球1受到的重力、浮力、细线施加的拉力T相平衡: ρ1gV1+T=ρgV1 (2) (2)除以(1)得 ρ1gV1+T V1 ──────- = ─── ρ1gV1+ρ2gV2 V1+V2 于是得出绳中张力大小为 T=(ρ1gV1+ρ2gV2 )V1/ (V1+V2)-ρ1gV1 例题8 如图6-9,两支杆子AB和CD的长度分别为a、b,质量都是均匀 分布的,每米长的杆子质量为m.杆子是光滑的，盒子内表面也是光 滑的.两杆的下端与盒底可认为交于同一点,即B点和C 点可认为重 合.杆子在图示位置处于静止状态.试求角度α、β之间的关系.
解:图6-10画出了杆子AB和CD组成的系统受到的全部外力. 外力 的矢量和应为零,所以 N＝N' (1) 杆子AB受到的各力对B点的顺时针的总力矩应等于逆时针的总 力矩: Nasinα＝amg(a/2)cosα 即 tgα＝mga/(2N) (2) 类似地,杆子CD受到的各力对C 点的顺时针的总力矩应等于逆 时针的总力矩.可得 tgβ＝mgb/(2N') (3) 由(1)(2)(3)式得 tgα/tgβ＝a/b 例题9 长度为L的砖叠放在地面上,上面一块相对下面一块伸出 (1/10)L,如图6-11所示.求在水平地面上最多可以堆多少块而不翻倒?
解:设底层砖上面可以放n块砖,O点是这n块砖的联合重心.则 x＝[L+(n-1)L/10]/2 (1) 要使砖不绕P1翻倒,必须满足 x<9L/10 (2) 由(1)(2)得 [L+(n-1)L/10]/2<9L/10 解得 n<9 (3) 在上面n块砖不绕P1翻倒的前提下,显然上面(n-1)块砖不会绕P2点翻倒,上面(n-2)块砖不会绕P3点翻倒,……所以可以从(3)式得出结论: 在底层砖上面最多可放8块砖.即在水平地面上最多可堆放9块砖而不翻倒. 例题10 如图6-12所示，A、B、C、D是四块完全相同的砖， 质量均匀分布，长度为2L(注意:长度不是为L),处于静止状态. 上面的砖相对下面的砖伸出的长度分别为为x、y、z. (1)(x+y+z)应该小于多少？ (2)如果要求x＝y＝z,那么(x+y+z) 应该小于多少？
解:(1)设每块砖的重力大小为G.取顺时针方向的力矩为正值,取逆时针方向的力矩为负值.要保证砖保持静止状态,必须满足: B、C、D三块砖的重力对O1的力矩之和小于零,CD 两块砖的重力对O2的力矩之和小于零,D砖的重力对O3的力矩小于零,即: -G(L-x)-G(L-x-y)+G(x+y+z-L)<0 (1) -G(L-y)+G(y+z-L)<0 (2) -G(L-z)<0 (3) 即 3x+2y+z-3L<0 (4) 2y+z-2L<0 (5) z-L<0 (6) (4)×2+(2)+(3)×3得: 6x+6y+6z-11L<0 即 x+y+z<(11/6)L (7) (x+y+z)的应该小于(11/6)L. (2)在x＝y＝z这个前提下,(4)(5)(6)式分别可化为: 6x-3L<0 (8) 3x-2L<0 (9) x-L<0 (10) 可以发现(8)式满足时,(9)式(10)式自然满足.从(8)式得 3x<(3/2)L (11) 即 x+y+z<(3/2)L (12) 在要求x＝y＝z的情况下,(x+y+z) 应该小于(3/2)L. 例题11 如图6-13,AB、BC、CD是三根相同的轻杆， 彼此之间用绞链连接,轻杆与墙壁之间也以绞链连接.A、D两点在同一水平面内.绞链B上悬挂一质量为m的物体,为使BC保持水平,在绞 链C上至少要施加多大的作用力?
解:绞链B受力情况如图6-14所示,三力平衡,可得轻杆BC 施加的拉力T为 T＝mg/31/2 绞链C受到的外力如图6-14所示,合力应为零,因此 F/sin120°＝ T'/sinα 其中 T'＝T＝mg/31/2 当α＝90°时,F取最小值: Fmin/(31/2/2)＝mg/31/2 所以 Fmin＝mg/2
又解:水平轻杆BC及两端的绞链组成的系统受力情况如图6-16所 示.外力对任意点的力矩的代数和应为零.力P和Q的作用线交于O点, 外力对O点的力矩的代数和应为零:F的力矩应等于N的力矩.当β＝ 90°时,F的力臂最大,F最小: mg(L/2)＝FminL 所以 F＝mg/2 例题12 如图6-17所示,一根轻杆长度为L,上端与绞链O相连, 下端 与圆柱体相连.圆柱体半径为R,重力为G,外表面光滑, 质量均匀分 布.O处还拴着一根绳,系在绳子下端的物块受到的重力为P.它们都 静止.轻杆跟竖直方向的夹角α的正弦值多大? ______. 解:从圆心C向左作水平线交圆周于A点,交通过O点的竖直线于 B点. 轻杆、圆柱体、物块组成的系统处于静止状态,外力对O点的力 矩应平衡: P·AB＝G·BC 而 AB+BC＝R 所以 BC＝R·P/(P+G) (1) 又 OC＝L+R (2) sinα＝BC/OC (3) 将(1)(2)代入(3)可得 sinα＝R·P/[(P+G)(L+R)] 例题13 图6-18中楔形物体A和立方体B均处于静止状态.A物体的重心在O点. A物体的右表面和竖直墙壁都是是光滑的. 图6-19中,哪些图画出了物体A可能的受力情况? 其中, G表示重力, Q表示B对A的作用力,R表示竖直墙壁对A的压力.
答:(A)(B)(C)是正确选项. 讨论:本题中,B对A的作用力Q,是指B对A的压力和静摩擦力的合 力.本题的答案意味着,B对A的可能没有静摩擦力(图A), 可能有沿 斜面向下的静摩擦力(图B),可能有沿斜面向上的静摩擦力(图C). 例题16 质量为m的小木块,停放在水平面上, 它与地面间的静摩擦因数为μ,一人想用最小的作用力Fmin使木块移动, 则此最小作用力Fmin的大小为_____. (第三届全国中学生物理竞赛预赛试题第一部分第5题)
解:小木块受力情况如图6-24所示. 为使小木块以近于零的加速 度由静止而运动,受力近于平衡: Fcosβ＝f N+Fsinβ＝mg 又 f＝μN 由以上三式可得 F＝μmg/(cosβ+μsinβ) 令y＝cosβ+μsinβ 则y＝（μ2+1）1/2{[(1/（μ2+1) 1/2]cosβ+[μ/(μ2+1) 1/2]sinβ} 又令cosγ＝1/(μ2+1) 1/2 则sinγ＝μ/(μ2+1) 1/2 tgγ＝μ 则y＝(μ2+1) 1/2 (cosγcosβ+sinγsinβ) 则y＝(μ2+1) 1/2cos(γ-β) 当β＝γ,即tgβ＝μ时, y取最大值: ymax＝(μ2+1) 1/2 这时,F取最小值: Fmin＝μmg/(μ2+1) 1/2 综上所述,当人所用的作用力向着前上方, 与水平方向所夹的角度 的正切值等于μ时,使木块移动所需的力最小,等于 μmg/(μ2+1) 1/2. 例题17 如图6-25,方桌在水平力F作用下向右匀速移动. 已知桌子质量为10Kg,桌腿跟地面间的动摩擦因素为0.2,桌子长、宽、高相等.求地面对左边两腿的滑动摩擦力的大小f1, 对右边两腿的滑动摩擦力的大小f2.
解:设方桌的长宽高均为L.方桌受力情况如图6-26所示. 应用滑 动摩擦力定律: f1＝μN1 (1) f2＝μN2 (2) 由于匀速运动,所以外力的矢量和为零: F＝f1+f2 (3) mg＝N1+N2 (4) 以通过右边两个腿脚的直线为轴,F的力矩为FL,N1 的力矩为N1L,重 力的力矩为mg(L/2),方桌所受其它各力的力矩为零. 顺时针的力矩 之和应等于逆时针的力矩之和: FL+N1L＝mgL/2 即 F+N1＝mg/2 (5) 由(1)(2)(3)(4)得 F＝μmg (6) 由(6)式得 F＝20N 由(5)式得 N1＝30N 由(4)式得 N2＝70N 由(2)式得 f2＝14N 由(1)式得 f1＝6N 例题18 “一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水 吃”这是民间流传的一个故事.现给你两根长度相同且自重忽略不 计的扁担和一只水桶，请你帮他们想出一个办法来，使甲、 乙、 丙三个和尚共抬一桶水且各自承受的压力相同.要求画出简要示意 图，标出三个和尚的位置和水桶的悬挂位置;指出示意图中有关线 段的比例关系: _________________________________. 答:图6-27为示意图,AB和CD表示两条扁担,它们垂直或者不垂直.三个和尚位于A、C、D三点，水桶悬于E点.BC＝BD,AE＝2EB. |
