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第一章 力 第二章 直线运动 第三章 牛顿定律 第四章 曲线运动 第五章 万有引力 第六章 平衡
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第五章 万有引力定律 冥王星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动轨道半径的 40 倍,它绕太阳运动一周需要____年. 解:设太阳质量为m,某行星(冥王星或地球)质量为m,绕太阳公 转的轨道半径为r.根据万有引力定律、牛顿第二定律、 向心加速 度公式可得 GMm/r2＝m·4π2r/T2 T2＝4π2r3/(GM) 所以 T冥2 / T地2 ＝ r冥3 / r地3 所以 T冥2 / 12 ＝403 所以 T冥＝40×(40)1/2年＝40×6.3＝250年 例题2.以下关于地球同步通信卫星的说法正确的是(采用地心 -恒星参考系): (A)所有的同步卫星都在赤道平面内一个圆周上 (B)同步卫星的速度大于地面的速度 (C)同步卫星的速度大于第一宇宙速度 (D)同步卫星的周期等于一个恒星日 [ ] 解:同步卫星和地面作圆周运动的周期是相同的, 角速度是相 同的,由 v＝2πr/T 或 v＝ωr 可知,同步卫星的速度大于地面的速度. 本题选项(A)(B)(D)正确. 例题3 假设火星和地球都是球体,火星的质量 M火和地球的质 量M地之比为p,火星的半径R火和地球的半径R地之比为q,那么火星 表面处的引力加速度和地球表面处的引力加速度之比等于 (A)p/q2 (B)pq2 (C)p/q (D)pq (1981年高考全国卷试题) 解:质量为m的物体放在质量为M半径为R的行星附近,受到的万 有引力为 F＝GMm/R2 引力加速度等于引力跟物体质量的比值: g＝F/m＝GM/R2 由此可见,引力加速度跟行星的质量M成正比,跟行星半径的平方R2 成反比.所以 g火/g地＝p/q2 选项(A)正确. 例题4 月球公转周期为T1,速度为v1; 同步通信卫星的周期为 T2,速度为v2;靠近地面运行的卫星的周期为T3,速度为v3.则 v1:v2:v3＝ . 解:设地球质量为M,某卫星质量为m,绕地球公转的轨道半径为 r.根据万有引力定律、牛顿第二定律、向心加速度公式可得 GMm/r2＝mv2/r 即 GM＝v2r (1) 又 v＝2πr/T 即 r＝vT/(2π) (2) 将(2)式代入(1)式: 2πGM＝v3T
所以 v＝ (2πGM) 1/3 / T1/3
于是 v1:v2:v3＝ T1-1/3 : T2-1/3 : T3-1/3 v1:v2:v3＝(T2T3)1/3:(T1T3)1/3:(T1T2)1/3 例题5 (1)已知地球质量为M,引力常量为G,在地心- 恒星坐标 系中,地球自转周期为T.求同步卫星离地心的距离. (2)已知地球半径为R,在地心-恒星坐标系中,地球自转周期为 T,贴近地球运行的卫星的周期为T0.求同步卫星离地心的距离. (3)已知地球半径为R,地面附近引力场强度约等于地面附近重 力加速度g,在地心-恒星坐标系中地球自转周期为T.求同步卫星离 地心的距离. 解:(1)设同步卫星离地心的距离为r. 地球对同步卫星的万有 引力F产生向心加速度a: F＝ma 而 F＝GMm/r2 a＝ω2r＝4π2r/T2 所以 GMm/r2＝4π2mr/T2 即 GMT2＝4π2r3 于是 r＝[GMT2/(4π2)]1/3 (2)同步卫星的运行周期等于地球的自转周期T.设同步卫星离 地心的距离为r.由 GMm/r2＝4π2mr/T2 可以得到 GMT2＝4π2r3 类似地,贴近地球运行的卫星满足 GMT02＝4π2R3 由以上两式可得 T2/T02＝r3/R3 于是 r＝(T2/T02)1/3R (3)同步卫星的运行周期等于地球自转的周期T.设同步卫星离 地球的距离为r.则 GMm/r2＝4π2mr/T2 即 r＝[GMT2/(4π2)]1/3 (1) 又 g＝F/m1＝(GMm1/R2)/m1 即 g＝GM/R2 即 GM＝gR2 (2) 将(2)式代入(1)式可得 r＝[gR2T2/(4π2)] 1/3 例题6 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在 同一平面内,且均为正圆,又知这两种转动同向,如图5-1所示.月相 变化的周期为29.5天(图1是相继两次满月时,月、地、日相对位置 的示意图).
求:月球绕地球一周所用的时间 T(因月球总是一面朝向地球, 故T恰是月球自转周期). (一九九八年普通高等学校招收保送生综合能力测试题) 解:地球在1回归年即365.25天内公转一周,所以图中角度θ为 θ＝2π×29.5/365.25 (1) 在29.5天中月球公转的角度是(2π+θ),所以 T / 29.5 ＝ 2π / (2π+θ) (2) 将(1)式代入(2)式,整理可得 T＝29.5×365.25/(365.25+29.5)天＝27.3天 |
