物理习题

例题1 有一小孩掉进河里后抱住了一根圆木随水向下飘流,有三条船A、B、C在正对河岸P点的地方同时与圆木相遇,但三条船上的船员都没有注意到圆木上的小孩.A、B两船逆水上行,C船顺水下行.相对水的速度,B船是A船的1.2倍,C船是B船的1.2倍. 当三条船离开P点行驶30分钟的时候, 船员们从收音机里听到圆木上有小孩需要救助的消息,三条船都立即调转船头,驶向圆木.在离P点6千米的地方,小孩被船员救起. 试回答三条船到达小孩和圆木的先后次序如何?_____.

解：以流水为参照物.小孩和原木是静止的.船A上行时速度和下行时速度大小相等,船B也是这样,船C也是这样.船A、B、C 同时从小孩所处的位置向上游和下游行驶,速度不同,在30 分钟内行驶了不同的路程s₁、s₂、s₃;在接下去的30分钟内, 三条船分别沿反方向行驶路程s₁、s₂、s₃,回到小孩所处的位置.

答:三条船同时到达小孩和原木.

例题2 一列一字形队伍长120m,匀速前进. 通讯员以恒定的速率由队尾跑到队首,又跑回队尾,在此期间,队伍前进了288m. 求通讯员跑动的速率v是队伍前进的速率u的多少倍.

分析:顺利解答本题的关键是, 找出通讯员的运动跟队首或队尾的运动的联系.

解:设通讯员从队尾跑到队首所用的时间为t₁, 从队首跑到队尾所用的时间为t₂,那么

u(t₁+t₂)＝288 (1)

在t₁时间内,通讯员跑动的路程比队首移动的路程多120m:

vt₁-ut₁＝120 (2)

在t₂时间内,通讯员跑动的路程加上队尾移动的路程等于120m:

vt₂+ut₂＝120 (3)

从(2)式中得出t₁的表达式,从(3)式中得出t₂的表达式,代入(1)式, 可算出:

v＝1.5u

例题3 一物体作匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4m/s, 1s后速度的大小变为10m/s.在这1s内

(A)位移的大小可能小于4m

(B)位移的大小可能大于10m

(C)加速度的大小可能小于4m/s²

(D)加速度的大小可能小于10m/s² (1996年高考全国卷试题)

解:取初速度方向为正方向,则

v₀＝4m/s,v_t＝10m/s或-10m/s.

由 s＝v_t＝(v₀+v_t)t/2,

得 s＝7m或-3m

所以位移的大小为7m或3m.选项(A)正确,(B)错误.

由 a＝(v_t-v₀)/t

得 a＝6m/s²或-14m/s²

所以加速度的大小为6m/s²或14m/s²,选项(C)错误,(D)正确.

总之,本题选(A)(D).

例题4 在三楼的阳台上 ,一人伸出阳台的手上拿着一只小球, 小球下面由细绳挂着另一个小球.放手,让两小球自由下落,两小球相继落地的时间差为t.又站在四层楼的阳台上,同样放手让小球自由下落,两小球相继落地的时间差为t',则

(A)t＜t' (B)t＝t' (C)t＞t'

解:从三楼阳台外自由下落,下面的小球着地时,两球具有的速度为v,从四楼阳台外自由下落,下面的小球着地时, 两球具有的速度为v',显然v＜v'.下面的小球着地后,上面的小球以较小的初速度v和较大的初速度v',继续作加速度为g的匀加速运动, 发生一定的位移(等于绳长),所需的时间显然是不同的:t＞t'.选项(C)正确.

例题5 一质点由静止从A点出发,先作匀加速直线运动,加速度大小为a,后做匀减速直线运动,加速度大小为3a,速度为零时到达B 点.A、B间距离为s.求质点运动过程中的最大速度.

解:设质点第一阶段做匀加速运动的的时间为t₁,末速度为 v, 这就是运动过程中的最大速度;设第二阶段做匀减速运动的时间为t₂.

那么第一阶段的位移为vt₁/2,第二阶段的位移为vt₂/2, 两者之和应为全程位移:

vt₁/2+vt₂＝s (1)

又根据加速度的定义式,有

t₁＝v/a (2)

t₂＝v/(3a) (3)

将(2)(3)两式代入(1)式:

v²/(2a)+v²/(6a)＝s

所以 v＝(3as/2)^1/2

例题6 两辆完全相同的汽车 ,沿水平直路一前一后匀速行驶, 速度均为v₀,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行驶的路程为s,若要保证两车在上述情况下不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为

(A)s (B)2s (C)3s (D)4s

(1992年高考全国卷试题)

解:汽车从开始刹车到停下这个期间,平均速度为v₀/2.在前车开始刹车到停下这段时间内,后车以速度v₀匀速行驶, 行驶的距离应为s的两倍,即为2s.

从前车开始刹车到两车都停下,前车的位移为s;后车的位移为 (2s+s)＝3s.设前车刹车前(匀速行驶期间)两车的距离为l,为使两车不相撞,应满足:

l+s≥3s

所以 l≥2s

本题选(B)

例题7 某人离公共汽车尾部20m,以速度v向汽车匀速跑过去, 与此同时汽车以1m/s²的加速度启动,作匀加速直线运动.试问, 此人的速度v分别为下列数值时,能否追上汽车?如果能, 要用多长时间?如果不能,则他与汽车之间的最小距离是多少?

(1)v＝4m/s; (2)v＝6m/s; (3)v＝7m/s.

思路:假设人不管是否在某一时刻追上了汽车,一直以速度v朝前跑,得出汽车跟人的距离y随时间t变化的函数式. 然后考察对于正值t,y是否可能取零,如果是的,那么能追上,如果不能,那么不能追上.

解:假设人不管是否在某一时刻追上了汽车,一直以速度v朝前跑.在时间t内,人的位移等于vt;汽车的位移等于

(1/2)at²＝0.5t².

经过时间t时,汽车尾部跟人之间,距离为

y＝20+0.5t²-vt

即 y＝20+0.5(t²-2vt+v²)-0.5v²

即 y＝0.5(t-v)²+20-0.5v² (*)

上式中,y取正值时,表示汽车尾部在人前方y米,y取负值时,表示汽车的尾部在人后面│y│米(前面已假设人即使追上了汽车,也一直朝前跑).

(甲)把v＝4代入(*)式得

y＝0.5( t-4)²+12 (1)

y恒大于零,y最小值为12.

(乙)把v＝6代入(*)式得

y＝0.5( t-6)²+2 (2)

y恒大于零,y最小值为2.

(丙)把v＝7代入(*)式得

y＝0.5( t-7)²-4.5 (3)

容易得出,当t＝4,10时,y＝0,这表示,如果人一直朝前跑, 那么经过4s时,人与汽车尾部平齐,经过10s时, 人又一次与汽车的尾部平齐.

结论:

(1)如v＝4m/s,则人追不上汽车, 人跟汽车之间的最小距离为 12m.

(2)如v＝6m/s,则人追不上汽车, 人跟汽车之间的最小距离为 2m.

(3)如v＝7m/s,则人经过4s追上汽车.

例题8 杂技演员表演一手抛接三球的游戏时, 三个球都抛过一次后,每一时刻手中最多只有一个球. 如果每只球上升的最大高度都为1.25m,那么每隔多长时间抛出一个球?g取10m/s².

(A)0.33s (B)0.33s到0.50s(C)0.50s (D)1.0s

解:每个球做一次竖直上抛运动的时间是

t＝2(2h/g)^1/2＝2(2×1.25/10)^1/2＝1.0s

球从这一次被抛出到下一次被抛出,完成一个周期性运动, 设周期为T.

如果每个球在手中停留的时间趋于零,那么

T＝t＝1.0s;

如果手中总停留着一个球,一个球停留的时间是t',那么

T＝t+t' ，

且 t'＝(1/3)T

那么 T＝(3/2)t＝1.5s.

以上考虑的是两个极端情况.实际上

1.0s＜T＜1.5s

在T时间内抛出三个球,每隔T/3的时间抛出一个球:

0.33s＜T/3＜0.5s ，选项(B)正确.

请读者考虑：如果每秒钟抛出三个球,那么应使每个球上升多高?(答案:0.56m到1.25m)

例题9 小球A从地面上方H高处自由下落,同时在A的正下方,小球B从地面以初速度v竖直上抛.不计空气阻力.要使A、B 发生下述

碰撞，v、H应满足什么条件?

(甲)在B上升到最高点时相碰;

(乙)在B上升的过程中相碰;

(丙)在时间T内在空中相碰;

(丁)经过时间T时在空中相碰.

解:设经过时间t在地面上方h高处相碰.则从开始运动到相碰, 小球A发生的位移大小为(H-h),小球B发生的位移大小为h,则:

( H-h)＝(1/2)gt²

h＝vt-(1/2)gt²

由以上两式得 t＝H/v (1)

时间t应小于B球在空中运动的时间:

t＜2v/g (2)

由(1)(2)得 2v²＞gH (3)

(甲)在最高点相碰：t＝v/g (4)

由(1)(4)得 v²＝gH (5)

所以v、H应满足(5)式.

(乙)时间t应小于B球上升时间:

t＜v/g (6)

由(1)(6)得 v²＞gH (7)

所以v、H应满足(7)式.

(丙) t≤T (8)

由(1)(8)得 H≤vT (9)

所以v、H应满足(3)(9)两式.

(丁) t＝T (10)

由(1)(10)得 H＝vT (11)

所以v、H应同时满足(3)(11)两式.

讨论: (11)代入(3)：v＞gT/2 (12)

问题(丁)又可这样回答:v、H应满足(11)(12)两式.

从(11)得出v＝H/T,代入(3)或(12)可得

H＞gT²/2 (13)

问题(丁)还可这样回答:v、H应满足(11)(13)两式.