在万有引力作用下的运动

吴建国,http://www.minglang.org

1 卫星的机械能与轨道半径

由方程GMm/r²=mv²/r,可得(1/2)mv²=GMm/(2r).可见,对于质量相等的一些卫星来说,在较高的圆轨道上的卫星,动能较小.那末,在较高的圆轨道上的卫星,机械能也较小吗?

如以无穷远处为引力势能零点,那末卫星的引力势能表达式是

E_p=-GMm/r.

所以卫星的机械能为

E=E_k+E_p=GMm/(2r)-GMm/r=-GMm/(2r).

可见,对于一些质量相等的卫星来说,轨道半径r越大的卫星,机械能E越大.

如果取其它位置为引力势能零点,那末引力势能E_p的表达式和机械能E的表达式将变得复杂一些,但仍可得到“质量相等时，在较高的圆轨道上运行的卫星，机械能较大”.

2 作椭圆运动的卫星的机械能

一个作椭圆运动的卫星，在近地点时机械能较大，还是在远地点时机械能较大?

作椭圆运动的卫星不满足GMm/r²=mv²/r, 因此不可以照搬上面的方法.

卫星在沿椭圆运动,离地心的距离不断变化的过程中,由卫星和地球组成的系统,只有引力做功,因此机械能是守恒的. 在近地点和远地点以及轨道上其它各点,机械能相等.

3 太空中物体的机械能与参考系的选择

与两个质点的相对位置有关的势能与参考系的选择无关; 动能与参考系的选择有关.机械能是动能与势能之和.所以机械能也与参考系的选择有关.

甲乙两个物体质量相同，原来都放在赤道附近相对地面静止.把甲移到同步卫星轨道上，且让它相对地面静止；把乙移到同步卫星轨道上，且相对地球质心坐标系静止. 甲和乙谁增加的机械能较多?

在地球质心坐标系中,甲物体的速度由464米每秒增加到3000米每秒,动能是增大的,乙物体的速度由464米每秒减小到0, 动能是减小的;两物体引力势能的增量相同.所以甲物体增加的机械能较多.

在地面坐标系中,甲物体的初速度和末速度都为零,动能的增量为零,乙物体的初速度为零,末速度不为零,动能增加了;两物体增加的引力势能是一样的.所以,乙物体的机械能增加较多.

4 在地面坐标系中看人造地球卫星

在地球质心坐标系中,人造地球卫星的轨迹是圆和椭圆,是闭合曲线.那么在地面坐标系中,卫星的轨迹是怎样的呢?

设靠近地面运行的某颗卫星,在某一时刻位于赤道上方,经度为0°的位置,速度指向正南方向(对地球质心坐标系而言), 那么经过84分钟(地球质心坐标系中近地卫星的周期)以后, 卫星再一次经过赤道,但所处的经度已经变为360°×84/(24×60)=21°. 赤道上经度为零的位置的人们发现,这个卫星没有回到该地.

实际上除了在赤道平面内运行的卫星之外,其它卫星,在地面坐标系中的轨迹,都不是闭合曲线,都不在同一平面内.

在赤道平面内靠近地面运行的卫星,在地面坐标系中,轨迹仍是圆,而周期不再是84分钟.在地面坐标系中,向东近地运行的卫星,速度是

(7900-464)≈7400米/秒,

周期约等于 2π×6400000/7400=5434秒=90分钟.

在地面坐标系中,向西近地运行的卫星,速度是

( 7900+464)≈8400米/秒,

周期约等于2π×6400000/8400=4787秒=80分钟.

5 在地球质心坐标系中看自由落体

在地面坐标系中,自由落体的轨迹是直线,平抛物体的轨迹是抛物线.(这些说法的前提是假定重力是恒力,且假定物体不受其它力.)

那么,在地球质心坐标系中,地面参照系中描述的所谓自由落体和平抛物体,轨迹是怎样的呢?

赤道附近的自由落体，在地球质心坐标系中,具有初速度v, 大小为464米每秒(或大一些)，其方向垂直于地心跟物体的连线.这个初速度远小于第一宇宙速度7900米/秒,所以在地球施加的万有引力作用下,物体沿很扁的椭圆运动,初位置是远地点. 落地前的轨迹是AB这一段,如图43所示.

赤道附近相对地面以几米每秒或几十米每秒的水平速度,向东、向西，或向其它方向抛出的物体，在地心坐标系中，具有初速度v'，由于v'接近于上述的v,所以也是沿很扁的椭圆运动.

总之同一个自由落体运动,在地面坐标系中,轨迹几乎是直线,而在地球质心坐标系中,轨迹是椭圆(椭圆的一段) ;同一个平抛运动,在地面坐标系中,轨迹几乎是抛物线,而在地球质心坐标系中, 轨迹是椭圆(椭圆的一段).

6 如果地球对物体的引力突然消失

例题:在地球赤道上的A处静止放置一个小物体. 现在设想地球对小物体的万有引力突然消失,则在数小时内,小物体相对于A 点处的地面来说,将( ).

(A)水平向东飞去

(B)原地不动,物体对地面的压力消失

(C)向上并渐向西方飞去

(D)向上并渐向东方飞去

(E)一直垂直向上飞去(第四届全国中学生物理竞赛预赛第二题)

解: 在地球质心坐标系这个惯性系中,地球自转,赤道上任意点作圆周运动,速率是464米/秒;不受地球引力的小物体作匀速直线运动,速率也是464 米/秒.如图44,在地球质心坐标系中,经过 3小时,地面A点移到A₁点,小物体从B点,移到B₁点,经过6小时,地面A点移到A₂点,小物体移到B₂点,经过9小时,地面A点移到A₃点,小物体移到B₃点.B₁点在A₁点的上方偏西,B₂点在A₂点的上方偏西,B₃点在A ₃点的上方偏西.所以,选项(C)是正确的.

 这里“万有引力消失”不可理解为“重力消失”. 如果“万有引力消失”可以理解为“重力消失”，那么在地面坐标系考虑，可以认为选项B正确;“重力消失”意味着万有引力和物体在地面坐标系中的惯性离心力同时消失，“万有引力消失”跟“重力消失”是不同的.

在地面坐标系中小物体失去万有引力后，开始时受到惯性离心力,惯性离心力使小物体向上运动,小物体有了不为零的速度以后又受到科氏力,使运动较为复杂.

7 石块引起地球怎样的运动

题目:地面上质量是1.0千克的石块受到的重力是多大? 重力的反作用力多大?地球在这个反作用力作用下,将以多大的加速度向石块运动?(地球的质量是6.0×10²⁴千克)如果地球以这样大小的加速度开始运动,需要多长时间位移才能达到1.0厘米?(高中物理必修本第二版第二册102页) (原参考答案:9.8牛;1.6×10^-24米/秒²; 1.1×10¹¹秒.)

讨论:

(一)按照我们前面对重力的定义,不宜谈论重力的反作用力, 因为在经典物理学中,认为惯性离心力是假想的力,没有反作用力. 某

些书把重力通俗地定义为地球对物体的万有引力的某一个分力, 这样定义重力,可以谈论重力的反作用力.

(二)为了使第(3)个小问题符合编者的原意, 题目中应该作两点交代:(a)石块正在自由下落----如石块停在地面上,那么第(3)个小问题的答案应该是“零”;(b)在地球和石块组成的系统的质心坐标系中考察地球的运动(相对自由下落的平动的石块,地球质心的加速度大约是9.8米/秒².)

(三)石块只能在地面附近一定高度内的某一位置,相对地面开始作自由落体运动,石块下落的时间不会很长:从100千米高度下落,到达地面之前运动的时间约为 (2h/g)^1/2=141秒.在石块下落的时间内，地球的位移是不可能达到1厘米的. 所以第(3) 个问题中“需要多长时间位移才能达到1.0厘米”改为比如“经过100秒时间，位移能达到1厘米吗”略好一点.