万有引力的功与重力的功 一 在质量为M的中心天体的引力场中,一质量为m的物体(可以是天体)由A1(距中心天体r1)经A2、A3……运动到An(距中心天体rn),如图,M对它的引力做负功 W＝-[F12A1A2+F23A2A3+……+F(n-1)nAn-1An]
由于A1到An中间的点取得很密,因此在A1A2路径上,引力的某种平均值F12接近于GMm/r12,接近于GMm/r22,更接近于GMm/(r1r2).同理F23更接近于GMm/(r2r3).所以 W＝-GMm[(r2-r1)/(r1r2)+(r3-r2)/(r2r3)+…… +(rn-rn-1)/(rn-1rn)] W＝-GMm[1/r1-1/r2+1/r2-1/r3+……+1/rn-1-1/rn] W＝GMm(1/rn-1/r1) 这是在中心天体质心坐标系中,计算中心天体对质量为m的物体的功的公式,其中r1是初位置离中心天体质心的距离,rn是末位置离中心天体质心的距离. 上式可改写为 W＝GMm(1/r末-1/r初)……(1) 二 如果，初位置和末位置都在地球表面附近,下降的高度是h，即 r初-r末＝h r初≈ r末 ≈R 其中R表示地球半径, 那么，从(1)式可得到 W＝GMm(r初-r末)/r末r初 从而 W≈GMmh/R2 又 GMm/R2≈mg 于是 W≈mgh……(2) 由于地球附近物体的重力，约等于地球对物体的万有引力,所以重力做的功基本上就是万有引力做的功,从(1)能近似导出(2)式,正反映了这一点. |
