刚体的动能 有一种质点组,质点彼此间的相对位置保持不变,这种质点组称为刚体.刚体保持静止或平动时,刚体在质心坐标系中的动能E′＝0,这时,有E＝Ec. 一个刚体的运动如果可以看成一个平动和一个定轴转动的叠加,那么,利用“质点组的总动能等于质点组的质心动能与质点组在质心坐标系中的动能之和”这个性质,会给计算刚体的动能带来方便. 题目:一块方形薄铝板,边长为3.14m,质量为10Kg,将这块薄铝板卷成一个圆筒,重叠部分的尺寸可不计.圆筒在水平面上滚动,质心速度为1m/s,绕对称轴转动的角速度为2rad/s.试求圆筒的动能. 解:质心动能为 Ec＝（1/2）×10×12＝5J; 在质心坐标系中,圆筒上每个微小部分(每个物质元)都绕着质心作圆周运动,速度大小都是 u＝ωr＝2×0.5＝1m/s , 所以在质心坐标系中,筒上各个微小部分的动能之和为 E′＝（1/2）mu2＝5J. 于是,圆筒的动能为 E＝Ec＋E′＝10J. 在这类例子中,刚体的质心动能Ec又称为平动动能;刚体在质心坐标系中定轴转动具有的动能E′,又称为转动动能. 一个密度均匀的球体,在水平的或倾斜的平面上做无滑动的滚动时(设质心的轨迹为直线,球体的一条直径平动), 计算转动动能E′,没有上例那样简单, 这里我们不加证明地指出,它的转动动能E′等于平动动能Ec的（2/3）倍(读者在大学物理课中学到“转动惯量”知识后,可以导出这个关系). 题目: 密度均匀的质量为m的球,从平坦的刚性的倾角为45°的斜面上,由静止开始无滑动地滚下,下降的高度是h时,球心的速度为v,空气阻力可忽略.已知转动动能E′等于平动动能Ec的（2/3）倍.试求v与h的关系. 解:球在平坦的刚性的固定于地面的斜面上无滑滚动的时候,不产生内能,也几乎不使斜面增加弹性势能,球的机械能是守恒的(斜面施加的摩擦力,对处理为刚体这种质点组的球不做功,因为球跟斜面接触的物质元的速度为零,元位移为零).重力势能减少了mgh,这些能量全部转化为球的动能,即全部转化为球的平动动能（1/2）mv2和转动动能 （2/3）×（1/2）mv2.所以 mgh＝（1/2）mv2＋（1/3）mv2 可得 6gh v＝ ─── 51/2 这个结果与球的直径没有关系.看来,不管多小的球,在这个情景中,都不是完全等同于质点这个模型. 当然这不是说不可以把这个情景中的小球用质点来代表：如果准备对小球应用质点动力学定律,那么是可以的.例如,可以把小球用位于质心的质点代表,对这个质点应用质点动能定理.这种处理中,必须认为摩擦力做功,这个功等于摩擦力的大小乘以小球质心的位移(2h)再乘以(－1).可以得到: mgh－2fh＝（1/2）mv2 由于这个方程式中出现摩擦力大小f这个未知量,这个方程式无益于原问题的解答,但是通过某种途径得出了本题的结果以后,可以通过该式求摩擦力大小f. 上述的平坦斜面如改为光滑斜面,那么球将平动,满足 mgh＝（1/2）mv2 从而 v＝(2gh)1/2 . |